Po co uczymy się matematyki? To wiedza, która żyje wyłącznie w naszym umyśle, bo nie sposób wejść w jakikolwiek zmysłowy kontakt z liczbą, kulą czy przestrzenią Hilberta. Może nie warto poświęcać jej więcej czasu ponad ten, który jest potrzebny, by nauczyć się rachować?
Łatwa odpowiedź jest taka, że uczymy się matematyki, bo… jest piękna. I daje nam język, który pozwala zrozumiale opisać świat.
A gdyby poszukać odpowiedzi trudnej?
To trzeba byłoby opowiedzieć o tajemnicy matematyki, a ściślej – o tajemnicy jej skuteczności w opisywaniu świata. Eugene Wigner, który otrzymał Nagrodę Nobla z fizyki w 1963 r., napisał nawet głośny esej o niepojętej skuteczności matematyki w naukach przyrodniczych, ale tak naprawdę nie potrafimy tego wyjaśnić. Starożytni Grecy pierwsi pytali, czym są obiekty matematyczne, np. prosta, kula, elipsa, liczba. Platon odpowiedział: obiektami, które istnieją realnie, ale w świecie idealnym. I mamy do nich dostęp wyłącznie dzięki naszemu umysłowi. Ten pogląd uczynił z matematyki w naszej kulturze poważną naukę o realnie istniejących obiektach idealnego świata. Nie stało się tak w Chinach, gdzie matematyka aż do czasów nowożytnych była uważana za rozrywkę intelektualną osób wykształconych. Ani w Indiach, gdzie była językiem rozmowy z bogami, więc kiedy budowano ołtarz, starano się precyzyjnie realizować projekt, wierząc, że dzięki temu modły z niego zanoszone szybko trafią do właściwych uszu. W starożytnym Egipcie i Babilonie matematykę uważano z kolei za narzędzie sprawowania rządów i organizowania dużych prac, np. irygacyjnych. Pozwalała obliczyć, ile trzeba wykopać ziemi, jaka jest wydajność robotników, jaką ilość jedzenia należy dla nich przygotować.
Ale rachunki to nie matematyka.
Właśnie, bo matematyka to badanie idealnych obiektów, istniejących realnie, w idealnym świecie. Odpowiedź Platona pozostała ważna do dziś. W moim przekonaniu jest po prostu najważniejsza.
Matematycy badają więc idealne obiekty w idealnym świecie, ale okazuje się, że opisywanie rzeczywistości językiem matematyki pozwala dowiedzieć się, jak rzeczywistość naprawdę wygląda. Jak wyjaśnić ten paradoks?
Wedle Platona nasz świat to chora – materia ukształtowana przez demiurga wedle idealnych wzorców. W tym świecie kula nigdy nie ma idealnej powierzchni, a prosta nie jest pozbawiona krzywizn, bo są to zaledwie odbicia idealnych obiektów. To wyjaśnienie obowiązuje jakoś do dzisiaj.
Myśli Pan tak samo czy na własny użytek inaczej objaśnia tę tajemnicę?
Tu idę za większością, choć nie zawsze tak postępuję w życiu… Jestem platonikiem, na to nakłada się jeszcze moja wiara. To pozwala mi podpisać się pod stwierdzeniem, że Bóg myśli matematycznie.
I chociaż jako człowiek, mimo wszystkich osiągnięć, wciąż niewiele ze świata rozumiem, to im wnikliwiej go obserwuję, tym więcej dostrzegam w świecie ładu i porządku. Na przykład podzielam pogląd, że w ten świat jest wpisana emergencja, czyli dążenie do tworzenia struktur coraz bardziej złożonych. Bliskie jest mi myślenie francuskiego filozofa Teilharda de Chardin z jego dostrzeganiem w niekończącym się procesie ewolucji momentów krytycznych – „skoków”, które odmieniają świat. Np. przez to, że w „zupie” cząstek elementarnych zaczynają się pojawiać pierwiastki, które łączą się w molekuły, a potem przeobrażają w cząsteczki i coraz bardziej złożone związki chemiczne. I w pewnym momencie tego procesu, który trwa miliardy lat, pojawia się… życie. Czyli coś zupełnie nowego, bo nie są to martwe molekuły pływające w praoceanie, ale cząstki żywe zdolne do replikacji i doskonalenia swoich funkcji. Podobnym „skokiem” było pojawienie się świadomości. Mały mózg Homo sapiens stał się zdolny do odtworzenia w sobie wszechświata i stworzenia teorii opisujących jego stan i ewolucję. I to nie w odbiciu lustrzanym, bo jesteśmy zdolni do krytycznego oglądu świata.
Pana dziedzina matematyki – czyli topologia, zajmująca się badaniem własności figur geometrycznych i brył, które nie zmieniają swoich właściwości nawet po poważnym zdeformowaniu – wydaje się daleka od tego, by podarować swojemu badaczowi momenty, kiedy możliwe staje się dostrzeżenie „utajonego ładu świata”.
Dlaczego? Wszystko jest możliwe, pod warunkiem że stanie się naszym udziałem stworzenie wielkiej teorii. Mnie nie było to dane. Postrzegam siebie jako skromnego wyrobnika matematycznego, rozwiązującego w ramach topologii problemy łatwiejsze i trudniejsze, które z reguły nijak się miały do świata. Ale lubiłem myśleć nad głębszym sensem tego, co robię. Doszedłem do wniosku, że muszę poznać historię matematyki – dzieje jej niewątpliwych osiągnięć, ale i błądzeń. A przez to zbliżyć się do zrozumienia paradoksu, o którym rozmawiamy – skuteczności matematyki w opisie świata. Weźmy teorię ruchu planet Ptolomeusza z II w., która, jak na ówczesne warunki obserwacyjne, dobrze opisywała ich ruch, ale była skomplikowana – był to złożony system okręgów poruszających się po okręgach. Planety poruszają się bowiem bardzo kapryśnie: idą w przód, zatrzymują się, potem – jakby po zastanowieniu – wracają, znowu się zatrzymują, ponownie ruszają do przodu. Jak to opisać? Ptolomeusz, który uważał, że zadaniem matematyki (bo tylko ona dysponuje adekwatnym językiem) jest „ratowanie zjawisk”, uznał, że każda planeta porusza się po swoim okręgu. Ale na nim jest drugi okrąg, który porusza się razem z planetą, więc tak naprawdę znajduje się ona na tym drugim okręgu uwzględniającym wahania ruchu planety. Na tym jednak nie koniec, bo nawet wprowadzenie do teorii drugiego okręgu dla planety nie pozwoliło jeszcze wszystkiego objaśnić. Trzeba było nakreślić okrąg trzeci… W efekcie pracy wielu pokoleń astronomów w czasach Mikołaja Kopernika teoria Ptolomeusza składała się już z 96 okręgów, które opisywały ruch Słońca, Księżyca i pięciu planet.
Co za zagęszczenie rzeczywistości!
Ptolomeusz wierzył w swoją teorię, bo wydawała się skuteczna. Ale skuteczna znaczy prawdziwa. Kopernik chciał ją tylko poprawić, wszyscy wiemy, co z tego wynikło… Zamiana ról Słońca i Ziemi nieco ją uprościła, zmniejszając liczbę okręgów do dwudziestu paru. Jednak znaczenie przewrotu Kopernika polegało na czym innym – na zakwestionowaniu panującej u schyłku średniowiecza „wielkiej syntezy” jako systemu porządkującego ówczesną wiedzę. Kiedy zająłem się historią matematyki, dostrzegłem, jak wielką ona odgrywała rolę w opisywaniu świata i w porządkowaniu naszych o nim myśli. To matematyka nauczyła człowieka pokory. Wobec naszych dokonań, bo to, co dziś robimy, uważając za adekwatny opis świata, może być tak samo błędne i fałszywe jak Ptolomeusza opis ruchu planet czy późnośredniowieczna „wielka synteza”. Ale też pokory wobec świata, bo chociaż wchodzimy w jego struktury coraz głębiej, wciąż stoimy przed ogromem niewiadomych. Człowiek nie może więc czuć się inaczej jak tylko coś bardzo małego.
Drobina zaplątana w tryby świata, która próbuje coś z tego zrozumieć.
Właśnie, ale jest to drobina obdarzona wręcz drapieżną ciekawością świata, dążąca do jego poznania.
Jakie jest to poznanie prawdziwe, gdy „drobina” jest matematykiem?
Matematyk dąży do poznania idealnych konstrukcji, idealnych funkcji, idealnych sfer… Funkcja dzeta Riemanna prawdopodobnie nie ma żadnego znaczenia dla świata fizycznego, ale intryguje matematyków od momentu, kiedy została sformułowana. Czy te idealne koncepcje matematyczne przełożą się kiedyś na konkret, to już inna sprawa. Ale i to się dzieje, bo tenże Riemann stworzył wielką koncepcję przestrzeni, co otworzyło Einsteinowi drogę do stworzenia teorii względności. Z kolei przestrzenie Banacha i podobne do nich, ale nieco bardziej skomplikowane, przestrzenie Hilberta, choć powstawały jako konstrukcje idealne – i po prostu piękne! – okazały się mocno skorelowane z otaczającym nas światem, bo posłużyły do opisu świata subatomowego.
Piękne, czyli jakie? Jakie muszą być twierdzenia matematyczne, by za takie zostały uznane?
Na to nie ma dobrej odpowiedzi. Bo jak wyjaśnić, że jakaś teoria czy pojęcie budzą zachwyt? Można mówić o prostocie, elegancji, ale w wielostronicowych wywodach matematycznych potrafią to dostrzec tylko fachowcy. Jeszcze trudniej opowiadać o wyczuwalnym dla matematyka bogactwie zawartym w pojęciu czy twierdzeniu. Na przykład przestrzeń Banacha – ona zachwyci każdego, kto ze zrozumieniem o tym posłucha. Zauważmy, że to pojęcie nie pojawiło się niczym deus ex machina w umyśle genialnego matematyka, ale było poprzedzone trwającym od XIX w. intensywnym rozwojem analizy matematycznej. W tej analizie zaczęły się pojawiać zbiory, których przedtem nie było, np. zbiór funkcji ciągłych na odcinku 0–1 albo zbiór szeregów liczb rzeczywistych, które są zbieżne. Takich zbiorów było już w czasach Banacha kilkanaście i wyczuwano, że coś w nich jest, że one mają jakąś wewnętrzną strukturę. Np. dodając dwa szeregi zbieżne do siebie, nadal mamy szereg zbieżny, mnożąc elementy tych zbiorów przez liczby rzeczywiste, nadal znajdujemy się w tym samym zbiorze. Na początku XX w. okazało się, że dwie przestrzenie – zbiór wszystkich szeregów zbieżnych i zbiór wszystkich funkcji na odcinku 0–1, których kwadrat jest całkowalny – to ta sama przestrzeń! Zbiór o takiej samej strukturze wewnętrznej! Zasługą Banacha było stworzenie ogólnej teorii tych zbiorów.
Jak długo się myśli nad takimi kwestiami?
Nieraz całe życie. Albo i dłużej.
W ramach zespołów badawczych, które pchają do przodu współczesną naukę, czy jednak w zaciszu własnego gabinetu w towarzystwie wyłącznie kartki papieru albo komputera?
Największego odkrycia dokonałem po kilku miesiącach intensywnej pracy, po zmarnowaniu dziesiątek kartek papieru, w pociągu. Czyli wydawałoby się: tylko ja i nośnik moich myśli. Ale bywa też inaczej… Istnieje w matematyce twierdzenie o klasyfikacji grup skończonych prostych. Dowód tego twierdzenia, gdyby je umieścić w książce, liczyłby kilkaset stron druku. By w ogóle się nim zająć, podzielono go na fragmenty pomiędzy poszczególnych uczonych i w ten sposób przeprowadzenie dowodu stało się dziełem zbiorowym. Wniosek z tego taki: matematyk myśli i pracuje sam. Potrzebuje jednak kontaktu z ludźmi, którzy potrafią go zrozumieć, czasami skrytykować, pobudzić nowymi bodźcami. Środowisko jest więc niezbędne.
I dlatego, w dużym uproszczeniu, powstała warszawsko-lwowska szkoła matematyków i logików?Ach, to fenomenalna historia! Która mogła się wydarzyć przede wszystkim dzięki pracy wykonanej przez poprzednie pokolenie….
